Rođen je kao Andrija Opica 27. studenoga 1847. godine u seljačkoj obitelji Mate i Marije Opica koja je bila vezana za vlastelinsku obitelj baruna Inkey u Rasinji. Školovao se najprije u rodnoj Rasinji, zatim u Koprivnici te u Peterancu. U gimnaziju u Varaždinu krenuo je 1859. godine, a gimnazijsko obrazovanje dovršio je u Požegi. Pošto je bio odličan đak i uz preporuke baruna Inkeyja 1863. godine nastavio je školovanje u Zagrebu gdje je živio u nadbiskupskom sirotištu. U Zagrebu je započeo s književnim stvaralaštvom i sudjelovao je u izdavanju zabavno-poučnog lista „Smilje“. Uz to je pjevao u pjevačkom zboru i glumio u kazališnoj družini. Godine 1865. krenuo je u bogosloviju te je promijenio prezime Opica u Palmović jer se to činilo prikladnije za budućeg svećenika. Kao bogoslov je 1868. godine sudjelovao u pokretanju časopisa „Zviezde“ i te godine objavio je svoje prve pjesme.

Kao pjesnik razvijao se na idealima narodnog preporoda u čijem je jeku Palmović tek bio rođen, zatim u okrilju Starčevićeve stranke prava i općenito u ozračju prožetom rodoljubljem i istinskom ljubavlju prema hrvatskom jeziku. Zbog slobodnih stavova, temperamentne naravi, nepodnošenja stege i prigovora starijih svećenika bio je prisiljen napustiti bogosloviju. Zbog prevelike žalosti majke koja se nadala tome da će joj sin postati svećenik i na zamolbu utjecajnog baruna Inkeyja, Andrija Palmović ponovno je primljen u bogosloviju te je zaređen za svećenika 25. srpnja 1871. godine. Nastavio je pisati i objavljivati pjesme, uglavnom ljubavne tematike i to u književnom časopisu „Vijenac“.

Kao kapelan službovao je u desetak različitih župa (1871.-1880.), među njima u Svetom Ivanu Zelini, Završju, Vinagori i drugdje. Iako su ga nadređeni slali u seoske župe kako bi ga kaznili on se vrlo dobro osjećao među običnim narodom i revno je služio kao svećenik. Ipak, nedostajale su mi blagodati života u glavnom gradu Zagrebu, što je nadoknađivao uživanjem u poeziji, knjigama, vinu, cigaretama i ženama.Vršeći kapelansku službu u Vinagori se razbolio od tuberkuloze. U međuvremenu je 1881. godine postao župnik u Komarevu kod Siska odakle je ubrzo morao poći na liječenje u Topusko i u bolnicu milosrdnih sestara u Zagrebu. Ondje je umro 10. veljače 1882. godine. Posmrtno su mu 1883. godine prijatelji književnici Fran Folnegović i Hugo Badalić objavili jedinu zbirku pjesama.

Unatoč očitom talentu i ugledu koji je uživao kao značajni pjesnik Šenoinog doba gotovo je potpuno zaboravljen. Biografsku knjigu s njegovim radovima objavila je 1994. godine profesorica Višnja Sesvečan. Njegovim književnim radom bavila se Božena Loborec, a zastupljen je u nekoliko antologija i pregleda hrvatske književnosti. Osnovna škola u Rasinji nosi ime Andrije Palmovića.