Fantoni rođen je 7. listopada 1880. godine u Virju od oca Leonarda, zidara, i majke Marije rođene Elia. Otac je porijeklom iz Gemone / Udine u Italiji. Rajmund je u Zagrebu završio srednju tehničku školu (1899.) i kao eksternist realnu gimnaziju (1904.). Diplomirao je 1909. na Visokoj tehničkoj školi u Beču, gdje se 1911. godine kao stipendist hrvatske Zemaljske vlade specijalizirao za konstruktora željezničkih mostova. Zajedno s Franjom Šignjarom iz Virja, s kojim je studirao u Beču, izumio je spravu za spajanje željezničkih vagona za koju je dobio patent od austrijske vlade (br. 29.377). Sam je patentirao motor s pogonom na alkohol (pat. br. 11951 od 1936.) i plug s pomičnim ralom (pat. br. 8933 od 1932.). Do 1910. godine radio je u privatnoj praksi a službovanje je započeo kao inženjerski pristav kod Zemaljske vlade. Godine 1918. postaje nastavnikom, poslije suplentom, 1920. redovitim profesorom strojarstva i elektrotehnike, a 1926/7. i dekanom na Gospodarsko-šumarskom fakultetu u Zagrebu, te honorarnim nastavnikom Fakulteta strojarstva i brodogradnje (1931.). Utemeljitelj je i predstojnik Zavoda za opće i gospodarsko strojarstvo u okviru Gospodarsko-šumarskog fakulteta (1919. – 1952.). Surađivao je u gradnji strojarskih uređaja za vodovode na Sušaku i u Novome Vinodolskom, u gradnji električnih centrala u Novoj Gradiški, Pleternici, Vinkovcima i Lepoglavi, proširenju električnih centrala u Sisku, Vukovaru i Novoj Gradiški, rekonstrukciji rasvjete u zagrebačkom HNK, u gradnji tvornica glinene robe u Novigradu, sadre u Blagaju, šešira u Galdovu, leda i hladionice na Sušaku, više crpnih postaja za melioraciju, te je izradio osnove za iskorištavanje vodnih snaga Očure, Gradne, Blizneca, Gacke, Like, te Plitvičkih jezera. Jedan je od osnivača Kemijske industrije d.d. u Zagrebu (1918.), a bavio se i modeliranjem zrakoplova. Objavljivao je znanstvene i stručne radove u raznim časopisima: Tehnički glasnik (1913.), Poljoprivredni glasnik (1923., 1926.), Gospodarski list (1924.), Narodno bogatstvo (1924.),  Šumarski list (1931., 1942., 1945.), Poljoprivredna naučna smotra (1939., 1940.), Gospodarski glasnik 1941.). Objavljivao je i u inozemstvu. Napisao je prvu knjigu cjelokupnoga gospodarskog strojarstva u Hrvatskoj, Gospodarsko strojarstvo (1929.), zatim Opće strojarstvo (1949.), Strojevi pilane (1952.) i Poljoprivredni strojevi (1954.). Umro je u Zagrebu 23. rujna 1968. godine.